Responsables du stage: Thierry Champion (mail) et Jean-Pierre Zanotti (mail).
Le stage 2013 se déroulera les jeudi 13 et vendredi 14 juin 2013 pour 64 participants de classe de seconde des lycées du Var. Le stage se déroulera sur deux journées, dans les locaux de l'UFR-Sciences économiques de l'Université du Sud-Toulon-Var (salles S102 à S109).
Huit groupes de 8 lycéens suivront 4 ateliers sur 6 proposés répartis sur 4 demi-journées (9h-12h puis 14h-17h).
Les thèmes de ces 6 ateliers sont:
L'accueil se fera le matin entre 8h15 et 8h30 devant l'entrée du bâtiment V (cf. plan ci-dessous). Les déjeuners servis au CROUS de l’université sont pris en charge par l’organisation.
Dans cet atelier, nous aborderons quelques jeux dont l'étude fait intervenir un invariant :
l'objectif est de montrer que la recherche d'invariants, qui est à la base de nombreux raisonnements mathématiques (en géométrie, mais aussi en arithmétique avec par exemple la preuve par neuf),
est un outil puissant dans l'étude de ces jeux.
Nous traiterons les jeux suivants :
Pavage en dominos
On considère un quadrillage
carré 4x4 de 16 cases, dont on retire deux coins (soit en diagonale, soit sur un même côté).
On se demande s'il est possible de paver ce quadrillage "à moitié écorné" avec des dominos
qui ont tous une dimension de 2 cases. On généralisera ensuite cette question à des situations plus compliquées,
où le pavage est plus grand, ou rectangulaire, ou à trous.
Le jeu des allumettes
Deux joueurs sont face à un tas de 15 allumettes et doivent retirer à tour de rôle une, deux ou trois allumettes (au choix et à chaque coup). Celui qui retire la dernière a perdu. Comment faut-il jouer pour gagner ?
Le turlupin
Le défi est ici d'écrire le mot turlupin sur un quadrillage
carré 3 × 3 de 9 cases auquel on retire une case: "écrire le mot TURLUPIN" signifie qu'on doit poser les lettres de façon à ce qu'on puisse lire le mot en passant d'une case à sa voisine sans aller en diagonale. Ensuite on se demandera si on peut écrire TURLUPINADE sur une quadrillage 4 x 3 auquel on retire une case.
T
U
R
P
U
L
I
N
Les grenouilles
Trois grenouilles sont sur un terrain quadrillé et peuvent sauter l'une par dessus l'autre (dans ce cas la grenouille qui saute arrive au point symétrique sur le quadrillage). Au départ les grenouilles occupent les positions (0,1), (1,0) et (1,1). Peut-on amener l'une d'entre elles à l'origine (0,0) ?
Les caméléons
147 caméléons se partagent un territoire, 50 sont rouges, 49 sont verts et 48 sont bleus. Quand deux caméléons se rencontrent et qu'ils ont une couleur différente, alors tous les deux prennent la même couleur, à savoir celle qu'il n'avaient ni l'un ni l'autre. Par exemple un caméléon rouge et un caméléon vert prendront tous les deux la couleur bleu. Est-il envisageable que des rencontres successives aboutissent à ce que tous les caméléons soient de couleur identique ?
Le solitaire
Des pions sont disposées sur un plateau de jeu. Le but du jeu est d'éliminer tous les pions du plateau sauf un, en appliquant le principe du "saute-mouton". Un pion peut sauter par dessus un autre et ainsi l'éliminer du plateau si ce dernier est situé sur la même ligne ou la même colonne et que la case d'arrivée est vide.
On peut trouver deux modèles de jeu de solitaire dans le commerce, on essaiera de déterminer si ces jeux admettent ou non une (des) solution(s).
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Le taquin
Le taquin est constitué d'un plateau carré sur lequel coulissent horizontalement et verticalement 15 pièces numérotées de 1 à 15. La position initiale des 15 pièces est la suivante:
Le problème consiste à placer correctement les pièces 14 et 15 si cela est possible. Pour faire glisser une pièce sur la case vide, il suffit de cliquer dessus.
la modélisation, ou comment l'on passe d'un problème concret énoncé en langue naturelle à un problème abstrait et l'importance du travail de simplification préalable.
le codage, ou le formalisme utilisé pour cette modélisation et le choix de la théorie appropriée pour analyser et résoudre le problème.
l'intuition, indispensable pour forger un raisonnement mais qui peut s'avérer être une source d'erreurs surprenantes.
Les problèmes susceptibles d'être abordés dans l'atelier:
Tournoi de tennis
Un tournoi de tennis comporte 1025 participants. L'élimination est directe. A chaque tour les rencontres sont tirées au hasard (s'il y a un nombre impair de joueurs en lice, celui qui ne joue pas le fera nécessairement le tour suivant). Combien de rencontres auront été disputées durant le tournoi pour déterminer le vainqueur ?
Les fléchettes
Une machine lance des fléchettes au hasard sur une cible circulaire inscrite dans un carré d'1m de côté. Certaines fléchettes tombent dans le cercle, d'autres à côté (donc entre le cercle et les angles du carré). Un compteur qu'on initialise à 0 affiche en permanence le nombre de fléchettes f qui ont atteint la cible. Après n tirs, on calcule le rapport f / n. Que va devenir ce rapport quand n devient très grand ?
L'architecte
Un architecte a dessiné les plans d'un bâtiment rectangulaire destiné aux mathématiciens toulonnais. Ils ont demandé à l'architecte à ce que le bâtiment respecte la condition suivante: si on lui retire le plus grand carré à l'une de ses extrémités (soit un carré de côté la largeur du bâtiment), le rectangle restant a exactement les mêmes proportions que le bâtiment entier. La condition fixée par les mathématicients est-elle réalisable ?
carré
rectangle
Les verres de vin
Un vigneron remplit deux verres identiques d'un même volume de vin, le premier verre avec du vin rouge, le second avec du vin blanc. Il prélève une quantité de vin du verre de vin rouge à l'aide d'une cuillère et la mélange dans le verre de vin blanc. Il prélève ensuite exactement la même quantité de ce mélange et la verse dans le verre de vin rouge. Y-a-t-il plus de vin rouge dans le verre de vin blanc que de vin blanc dans le verre de vin rouge ?
Les trois frères
La somme des âges de trois frères est 35 ans et le plus agé d'entre eux à 2 fois l'âge du plus jeune. Quel est l'âge de chacun des trois frères ?
L'escalade
Deux alpinistes se retrouvent sur un grand plateau face à une paroi verticale qu'ils doivent gravir. Ils se demandent s'ils auront assez de longueur de corde. L'un des alpinistes mesure 1,80m et l'autre chausse du 45 (la pointure d'une chaussure est égale à 1,5 fois la taille du pied en centimètres). Comment les deux alpinistes doivent-ils procéder pour faire une bonne estimation de la hauteur de la paroi ?
Le rendez-vous
Deux élèves doivent se retrouver entre 12h00 et 13h00 devant le bassin de la Place de la Liberté mais ni l'un ni l'autre n'est en mesure de connaître l'heure exacte à laquelle il pourra être sur place. Chacun promet à l'autre de l'attendre 10 minutes mais pas plus et ce jusqu'à 13h00 au plus tard. Quelle est la probabilité qu'ils se rencontrent à ce rendez-vous ?
Cloche-Merle le haut et Cloche-Merle le bas
Les deux villages de Cloche-Merle le haut et Cloche-Merle le bas sont séparés par une rivière. Les deux villages décident de réaliser un chemin, le plus court possible, pour les relier. À cause des réductions budgétaires, le pont devra être perpendiculaire aux deux rives. Déterminez graphiquement le chemin le plus court.
Les taxis New-Yorkais
À New-York les rues et les avenues se coupent à angle droit. Lorsque le taxi B allant d'ouest en est à la vitesse de 30km/h passe au croisement C, le taxi A qui file du nord au sud à 60km/h est à 1500m au nord du croisement. Au bout de combien de temps, la distance à vol d'oiseau entre les deux taxis sera-t-elle minimale ?
Antonio et Bianca
Antonio (A) part de chez lui pour aller voir Bianca (B) dans le village voisin. Antonio est coquet mais très pauvre et ne possède pas de miroir. Ainsi, pour se coiffer correctement, il se rend d'abord à la rivière pour y voir son reflet. Déterminez graphiquement le chemin le plus court pour Antonio.
L'escargot et la laitue
Un escargot est à une distance de 3m d'un mur haut de 2m et de 20cm d'épaisseur. De l'autre côté du mur, une délicieuse salade l'attend. Elle est située à 5m du mur et à 2 mètres de la droite correspondant à la direction de l'escargot. Quelle est la longueur du chemin le plus court que doit parcourir l'escargot pour manger la salade ?
On perd la boule k boules régulièrement espacées roulent sur une piste dans la même direction. En face d'elles n autres boules roulent en sens inverse. Quand deux boules se rencontrent, elles repartent chacune en sens inverse. En supposant que la piste est infinie de part et d'autre, qu'il n'y a pas de frottements, que les boules ont la même masse et la même vitesse, combien de collisions auront lieu ?
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Les concombres
Un concombre est constitué de 99% d'eau à la cueillette. Les consommateurs se méfiant du concombre, un stock de 500kg qui avait été entreposé à la coopérative juste après la récolte n'a pas trouvé d'acheteur après trois jours. A cause de la chaleur et l'évaporation, les concombres contiennent à présent 98% d'eau. Quel est le nouveau poids de ce stock de concombres ?
La fourmi ravitailleuse
Des fourmis se déplacent en ligne droite et en file indienne à vitesse constante et forment un peloton de 1 mètre de long. La fourmi en queue de peloton va ravitailler la fourmi chef en tête de peloton puis, sa mission accomplie, retourne aussitôt en queue de peloton. Elle fait cet aller-retour à vitesse constante et pendant le temps de ce ravitaillement le peloton a parcouru 1 mètre. Quelle distance a parcouru cette fourmi ?
La bibliothèque ronde
La bibliothèque d'une ville est un bâtiment moderne, les livres sont placés sur un cylindre vertical et un couloir circulaire cerne ce cylindre. On mesure la plus grande distance possible en ligne droite dans ce couloir, c'est-à-dire une corde du grand cercle extérieur tangente au cercle intérieur qui contient les livres et on obtient 18,4m. Comment trouver l'aire de ce couloir ?
La mouche et les TGV
Deux TGV roulent en direction l'un de l'autre sur la même voie, le premier à 320km/h, le second à 280km/h. Les deux TGV sont partis au même moment à 8h00, l'un de la ville de Brest, l'autre de Nice distantes de 1000 km. Un mouche dopée aux amphétamines s'envole au même moment du pare-brise du premier TGV et suit la voie pour arriver au pare-brise du second TGV, fait demi-tour et recommence cette partie de ping-pong. A quel moment la mouche sera écrasée entre les deux TGV ?
Introduction
Illustrez l'identité
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 en découpant un carré.
Illustrez l'identité
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 en découpant un cube. Illustrez l'identité de Pythagore a2 + b2 = c2 où a, b et c sont les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.
Identités numériques et découpage de rectangle
Vérifiez l'identité 1 + 3 + 5 + 7 = 42. Cette formule se généralise de la façon suivante: pour tout nombre entier strictement positif n,
1 + 3 + ... + (2n - 1) = n2
Cette formule exprime le fait que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n.
Vérifiez les identités 2 + 4 + 6 = 3 × 4 et 2 + 4 + 6 = 42 - 4. Ces deux formules se généralisent respectivement en : pour tout nombre entier strictement positif n,
Le tour du monde
On ceinture la planète avec une corde au niveau de l'équateur. Quelle longueur de corde faudrait-il ajouter à cette ceinture si on l'écartait d'un mètre de la surface de la Terre sur toute la circonférence ? NB. Le rayon de la Terre est de 6400km environ.
Le rail
Un rail de chemin de fer d'un kilomètre de long est posé au mois de décembre. En été la température s'élève et le rail se dilate d'un mètre mais comme il est solidement arrimé à chacune de ses extrémités, il se soulève en son centre. Quelle hauteur va atteindre le point central (est-ce de l'ordre du centimètre, de la dizaine de centimètres, du mètre, de la dizaine de mètres) ?
Balade à New-York
La ville de New-York est quadrillée par des routes horizontales et verticales délimitant des blocs rectangulaires de 100m x 80m. On veut se déplacer d'un carrefour A à carrefour B. Il y a évidemment plusieurs chemins pour faire ce trajet. Est-il efficace de rapprocher son trajet de la ligne droite entre A et B ? Peut-on adopter une autre stratégie ?
Les pizzas
Donatello prépare 500g de pâte à pain pour cuisiner deux pizzas. Il dispose pour les cuire de deux plaques circulaires, l'une de 15cm de diamètre, l'autre de 30cm. Comment doit-il répartir les 500g de pâte ?
Le punch au citron
Dans la liste des ingrédients d'une recette de punch, il faut 5 citrons jaunes, mais le barman ne dispose que de citrons verts dont le diamètre est deux fois plus petit. Combien de citrons verts faut-il ?
La tuile
Dans le midi de la France les toitures doivent respecter une pente de 30%. Sur le plan d'une maison avec un toit à deux pans, la toiture occupe au sol un rectangle de 6 x 8m. Quelle surface de tuiles faut-il acheter ? Même question en montagne où la pente doit atteindre 60%.
On souhaite à présent couvrir un toit d'église en forme de cône avec de petites pièces en ardoise. Que se passerait-il si la pente devenait de plus en plus importante ?
Le tir à l'arc
Un tireur est positionné à 100m d'une cible. Il décoche sa flèche vers la cible. La flèche se déplace à la vitesse de 100m par seconde. La flèche va d'abord parcourir la moitié du trajet, puis la moitié du trajet restant et ainsi de suite. Quelle identité de longueur cette constatation nous conduit-elle à formuler ?
A l'aide d'un logiciel gratuit de visualisation (Visit), la représentation de fonctions définies sur R x R (voire R x R x R)
à valeurs réelles sera introduite. La représentation locale de la
surface de la terre est l'application immédiate: l'altitude d'un lieu
en fonction de sa latitude et de sa longitude définit un point de la
surface de la Terre. On insistera sur la représentation de ces
fonctions par des surfaces en 3D ou des courbes de niveaux en 2D.
L'introduction de ces notions suit le plan suivant:
Rappels sur les fonctions définies sur les réels et à valeurs réelles.
Introductions des fonctions de R x R dans R:
les fonctions radiales;
la représentation dans R par des surfaces (altimétrie);
la représentation dans R2 par des courbes de niveaux;
représentation sur le logiciel Visit;
visualisation d'une cartographie en relief;
visualisation d'une cartographie par lignes de niveaux;
construction d'exemples de fonctions sur Visit, exemple:
f(x, y) = ax2 + by2 selon a et b
Introduction de la notion de col et point selle
f(x, y) = x2-y2, g(x,y) = xy.
Exercices plus difficiles de construction de fonctions et visualisation
une montagne en forme de lune: localisation de maximum en x à y fixé
représentation d'un bord de fleuve par l'iso zéro de la profondeur d'eau
inventer une fonction pour une portion droite de fleuve puis pour le delta du Rhone.
généralisation 3D pour des constructions tubulaires.
L'échiquier et les grains de riz.
Voici une des légendes liée au jeu d'échec, elle est de l'auteur arabe Al-Sephadi:
« Schéram, roi d'une partie de l'Inde que l'historien ne désigne pas, gouvernait ses peuples d'une manière si folle qu'en quelques années il réduisit son royaume à l'état le plus malheureux. Les Brahmines et les Rayas, lui ayant fait d'humbles remontrances, furent disgraciés en masse. Alors Sessa, fils de Daher, de la caste des Brahmines, plus prudent que les autres, chercha un moyen de donner au roi une leçon qui ne pût le fâcher ; il fut assez heureux pour imaginer l'ingénieux jeu des échecs, où le roi, quoique la plus importante pièce, ne peut faire un pas sans le secours de ses sujets, les pions.
Dans l'Orient, berceau de l'apologue, un conseil donné de cette manière devait plaire; le nouveau jeu amusa le roi, qui promit à Sessa de réformer sa conduite et de changer son système de gouvernement; bien plus, voulant rémunérer dignement l'homme qui avait su lui créer un plaisir de plus, il permit au Brahmine philosophe de désigner la récompense qui lui conviendrait, le mieux. Sessa demanda un grain de riz par chaque case de l'échiquier, en doublant toujours depuis 1 jusqu'à 64; cette demande, qui parut plus que modeste lui fut accordée, et le roi ordonna à ses trésoriers de payer »
Combien y-a-t-il de grains de riz sur l'échiquier? Indication: on passe aisément d'une puissance de 2 à une puissance de 10, à l'aide de l'estimation bien connue des informaticiens: 210 ~ 103 (qui est à l'origine de l'historique kilo-octets de 1024 octets, à présent normalisé à 1000)
Quelques informations sur le riz:
Densité: 0,9 g/cm3;
Taille: longueur 1cm et diamètre 1mm;
Production: 685 millions de tonnes pour l'année 2009;
Un kilogramme de riz contient environ 40.000 grains.
Comparer le nombre de grains de riz sur l'échiquier à la production mondiale de 2009. La surface d'une sphère est donnée par la formule 4πr2, sachant que la Terre a un rayon de 6370km, et que seuls 29% de la surface du globe est émergée, estimer le nombre de grains de riz au cm2 si on les répartissait uniformément sur Terre (en néglieant bien entendu le relief de la Terre).
NB. Vérifier la dernière assertion en pesant une centaine de grains de riz (balance et riz à prévoir lors de l'atelier).
La machine paradoxale.
Un mécanicien a construit une machine originale: sur un plateau rectangulaire, il a fixé un moteur électrique à l'une des extrémités. Ce moteur est en action depuis janvier 1980 sans interruption et tourne à 500 tours/minute. Il entraine un engrenage de 15 disques exactement comme un compteur kilométrique de voiture. Il faut 10 tours d'un disque pour que le suivant fasse un tour. Le dernier disque de l'engrenage est fixé à un bloc de béton qui l'empêche donc de tourner librement. Le moteur est suffisamment puissant pour que la rotation d'un degré de ce dernier disque fasse éclater le bloc de béton. Pourtant le bloc est toujours intact. Pourquoi?
L'univers et le calcul.
Dans un modèle naïf, l'univers observable s'étale sur un diamètre estimé de 100 milliards d'années lumières (une année lumière est la distance que parcourt la lumière en une année, sachant que la vitesse de la lumière est d'environ 300.000 km/s). Le diamètre d'un grain de sable d'environ 1mm. Supposons que l'univers et les grains de sable soient sphériques (le volume d'une sphère de rayon r est 4/3πr3), et que l'on "remplisse" l'univers avec du sable. Un premier calcul montre que le diamètre de l'univers exprimé en mètres est d'environ 1027m. On obtient alors aisément une estimation du nombre de grains de sable nécessaires à ce remplissage en supposant que l'on peut remplir les espaces vides (difficile avec des sphères de rayon fixe!):
(1027/10-3)3 = 1090
ce qui est évidemment considérable.
Dans une salle de classe de n élèves dissipés, le professeur change les élèves de places, i.e. chaque élève prend (éventuellement) la place d'un de ses camarades. On appelle cette opération une permutation. On peut facilement dénombrer le nombre de permutations différentes, le professeur a le choix parmi n places pour le premier élève, n - 1 pour le second, n - 2 pour le troisième, etc. Le choix pour chaque nouvel élève ne dépendant pas du choix fait par le professeur pour l'élève précédent, le nombre total de permutations est donc
n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 3 x 2 x 1
Ce nombre est noté n! (on lit "factorielle n") pour plus de commodité. La fonction définie par n → n! est strictement croissante et elle croit très rapidement. Calculer le nombre de façons dont le professeur pourrait réorganiser sa classe si elle contient 83 élèves. Que faut-il constater ?
Le professeur veut préparer la liste des différentes permutations à l'aide d'un ordinateur. Il achète un PC cadencé à 3GHz, qui est donc capable de décoder 3 milliards d'instructions élémentaires à la seconde. Le programme informatique qu'il a écrit pour générer toutes ces permutations consomme une centaines d'instructions élémentaires. Combien de temps faudra-t-il pour obtenir l'ensemble des 83! permutations?
N.B. On estime la durée de vie restante de notre système solaire à 5 milliards d'années...
Un peu de génétique avec les plus longues sous-séquences communes.
L'ADN (Acide Désoxyrhibonucléique) est une molécule présente dans toutes les cellules vivantes et qui renferme l'ensemble des informations nécessaires au développement et au fonctionnement d'un organisme. Cette structure en forme de double hélice est constituée uniquement à partir de 4 "briques" de base: l'Adénine (notée A), la Thymine (notée T), la Cytosine (notée C) et la Guanine (notée G). Autrement dit d'un point de vue très synthétique, une molécule d'ADN se résume symboliquement à une suite de ces 4 symboles, par exemple
A C C C G T A A T T A A C C A G
Il faut réaliser que la longueur de cette chaîne est très importante et se mesure en centaines de milliers de symboles. Les généticiens extraient de cette longue séquence des gênes dont la longueur varie globalement entre 500 et 5000 symboles. Comparer deux gênes, afin d'en déterminer les similitudes par exemple, revient donc à comparer deux "mots" construits sur un alphabet réduit de 4 éléments {A, C, G, T}.
Pour mieux comprendre la problématique de la mesure de similitude, on peut bien entendu la transposer en langue naturelle et se demander comment mesurer convenablement la similitude entre deux mots, par exemple "SPECIALES" et "ESPACEMENTS" ?
Une première idée serait de comparer les mots termes-à-termes :
S P E C I A L E S
E S P A C E M E N T S
Mais le résultat n'est pas très concluant, une seule lettre coïncide alors qu'il apparaît intuitivement que la similitude entre ces deux mots ne se limite pas à cette seule lettre.
Comment procéderiez vous pour définir une mesure de similitude convenable ?
Suggestion : effacer des symboles de chaque séquence jusqu'à ce que les deux mots restants soient identiques. Evidemment, en effaçant toutes les lettres des deux mots sauf une lettre E commune constitue une solution, mais le mot en commun est limité à une seule lettre... On peut faire mieux, par exemple S P A E :
S P E C I A L E S
E S P A C E M E N T S
La question qui se pose à présent est naturellement de déterminer le mot le plus long et surtout comment l'obtenir efficacement. À vous de jouer...
Le chiffrement de César
Jules César utilisait une méthode très simple pour chiffrer les messages qu'il destinait à ses troupes, il consistait à remplacer chaque lettre du message original par une autre lettre distance d'une valeur fixée au départ, par exemple pour la distance 3, la lettre A est remplacée par D (B est à distance 1, C à distance 2, etc.). Pour les lettres X, Y et Z on revient au début de l'aphabet, donc Z est chiffré par C.
Pourquoi cet algorithme de chiffrement est-il très peu sûr ?
Le chiffrement par permutation
On peut améliorer la méthode de César en compliquant singulièrement (au moins en apparence) la situation. Au lieu de remplacer chaque lettre par celle à distance fixée, on associe à chaque lettre une autre lettre de l'alphabet, par exemple A devient K, B devient W, etc en s'arrangeant pour que deux lettres différentes ne soient jamais remplacées par la même lettre. C'est ce que l'on appelle une permutation. Combien y-a-t-il de façon deréaliser de permutations avec l'alphabet de 26 lettres ?
Est-ce que ce système vous paraît plus sûr ?
Le chiffrement de Vigenère
Le chiffrement de Vigenère est une amélioration sensible du système de César, on se donne un mot clef, par exemple SECRET qui est un mot de 6 lettres. On note alors successivement le rang de chacune des 6 lettres du mot clef dans l'alphabet en commençant à 0 pour la lettre A (ainsi S a pour rang 18, E a pour rang 4, etc.). Il ne reste plus qu'à faire un chiffrement de César différent pour chaque lettre du message en utilisant successivement les 6 rangs possibles et en recommençant toutes les 6 lettres. Par exemple, le message MATHCDEUXPLUS est chiffré en EEVYGWWYZGPNK avec le mot clef SECRET.
En quoi ce système améliore-t-il celui de César? Est-il sûr pour autant ?
